Tezin Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Dokuz Eylül Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Ana Bilim Dalı, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2025
Tezin Dili: İngilizce
Öğrenci: NOUR H.M. ALSHARIF
Danışman: Başak Karpuz
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:Bu tez, zaman skalaları üzerindeki lineer gecikmeli dinamik denklemlerin çözümlerinin kararlılığını incelemekte ve global çekicilik, üniform kararlılık ve global asimptotik kararlılık için yeni ve özgün yeterli koşullar türetmeye odaklanmaktadır. Bu çalışmanın temel katkıları, her biri gecikme fonksiyonu $\tau(t)$ üzerinde belirli koşullar getiren ve kararlılık analizinin önemli yönlerini vurgulayan iki yeni kararlılık testinin geliştirilmesidir. Bu testler, gecikmeli diferansiyel ve fark denklemlerine ilişkin mevcut sonuçları, zaman skalalarının daha genel çerçevesine genişleterek, önemsiz çözümün global asimptotik kararlılığını sağlayan kesin koşullar sunmaktadır. İlk özgün sonuç, Lyapunov fonksiyonel yöntemine dayanmaktadır. Lineer gecikmeli dinamik denklem \begin{equation} x^{\Delta}(t)+p(t)p\bigl(\tau(t)\bigr)=0\quad\text{for}\ t\in[t_{0},\infty)_{\mathbb{T}}, \end{equation} \noindent{}burada $\mathbb{T}$ üstten sınırsız bir zaman skalası, $p(t)$ bir katsayı fonksiyonu ve $\tau(t)$ bir gecikme fonksiyonudur. Bu denklem için global çekicilik için aşağıdaki yeterli koşulu türetiyoruz \begin{equation} \limsup_{t\to\infty}\Biggl\{\int_{t}^{\tau^{-2}(\sigma(t))}p(\xi)\Delta\xi\Biggr\}<2.\nonumber \end{equation} Burada, gecikme fonksiyonu $\tau(t)$ iki temel koşulu sağlamalıdır, $\tau(t)$, $t\in[t_{0},\infty)_{\mathbb{T}}$ için artan olmalı ve $\tau(\mathbb{T})=\mathbb{T}$ şartını sağlamalıdır. Bu ikinci koşul, $\tau(t)$'nin tersinirliğini garanti eder ve integral formüllerinde yerine koyma işleminin kullanılmasına olanak tanır, bu da ispatın merkezinde yer alır. İspatta oluşturulan Lyapunov fonksiyoneli, çözümler boyunca azalan olduğu gösterilerek, tüm çözümlerin $t\to\infty$ iken sıfıra yakınsamasını sağlar. Test, belirli zaman skalaları üzerinde sunulan sayısal örneklerle gösterilerek, uygulanabilirliği ve etkinliği kanıtlanmıştır. İkinci özgün sonuç, Yoneyama'nın kararlılık testini zaman skalalarına genellemekte ve üniform kararlılık ile global asimptotik kararlılık için yeni yeterli koşullar sunmaktadır. Gecikme fonksiyonu $\tau(t)$'nin $t\in[t_{0},\infty)_{\mathbb{T}}$ için artan ve $\tau(t)<\sigma(t)$ koşulunu sağladığı varsayımı altında, sıfır çözümünün üniform kararlı olması için \begin{equation} \sup_{t\in[t_{0},\infty)_{\mathbb{T}}}\Biggl\{2\sup_{\eta\in[\tau(t),t]_{\mathbb{T}}}\biggl\{\int_{\tau(\eta)}^{\sigma(\eta)}p(\xi)\Delta\xi\Biggr\}-\frac{1}{\mathrm{n}\bigl(\sigma(t),\tau(t)\bigr)}\Biggr\}\leq3, \end{equation} burada $\mathrm{n}(t,s)$ bir sayma fonksiyonudur, ve global asimptotik kararlı olması için bu eşitsizliğin katı şekilde sağlanması gerekmektedir. $\tau(t)<\sigma(t)$ koşulu, gecikmenin ileri sıçrama operatörünü aşmamasını sağlar, bu da kararlılık analizi için kritik bir öneme sahiptir. İspatlar, çözümlerin davranışının ayrıntılı analizini içerir ve zaman skalaları üzerinde ara değer teoremleri ile Gronwall eşitsizliğinin kullanımını kapsar. Teorik sonuçlar, sayısal örneklerle doğrulanmış olup, yeni koşulların önceki yöntemlere kıyasla daha iyi üst sınırlar sunduğu gösterilmiştir. Bu tez, Lyapunov fonksiyonel yöntemi kullanılarak global çekicilik için yeni yeterli koşullar sunarak ve Yoneyama'nın kararlılık testini zaman skalalarına genelleştirerek, gecikmeli dinamik denklemlerin kararlılık teorisine önemli katkılar sağlamaktadır. Bu sonuçlar, gecikmeli diferansiyel ve fark denklemlerine ilişkin mevcut kararlılık teorilerini genişletmekle kalmaz, aynı zamanda daha karmaşık fonksiyonel dinamik denklemlerin analizi için sağlam bir çerçeve sunar. Bu çalışma, zaman gecikmelerinin sistem davranışında kritik bir rol oynadığı kontrol teorisi, popülasyon dinamikleri ve mühendislik gibi alanlarda yeni uygulama alanları açmaktadır.