Akademik Veri Yönetim Sistemi
INTERNATIONAL ASIAN CONGRESS ON CONTEMPORARY SCIENCES-VI, Van, Türkiye, 27 - 29 Mayıs 2022, ss.171-172
Çokyüzlüler üzerindeki dar örtüler ve bu dar örtülerin Davis – Januskiewicz denklik sınıfları topolojide süregelen bir problemdir. Her bir dar örtü için karakteristik fonksiyon kurulabileceği bilinmektedir. Bu karakteristik fonksiyonlar matrisler ile eşlenebilmekte ve dar örtülerin sınıflandırma problemi matrisler üzerindeki işlemlere taşınabilmektedir. Karakteristik fonksiyonları temsil eden matrislerinin denklik bağıntısı altındaki sayılarını hesaplamak zordur. Bu sebeple döngüsüz yönlü çizgeler ile bire bir eşleme kullanılarak genel bir formül elde edilmiştir. Bu eşlemede matrisler üzerindeki genel doğrusal grup etkisi döngüsüz yönlü çizgelerde köşelerin etiketlerinin yer değiştirilmesi, yerel tamlama ve kaydırma şeklinde görülmektedir.
Bu çalışmada, simplekslerin çarpım uzayı üzerindeki dar örtülerin zayıf denklik sınıflarını
saymak için, karakteristik fonksiyonları temsil eden matrisleri vektör ağırlıklı döngüsüz yönlü
çizgeler ile eşleyeceğiz. Burada matrislerin satır uzunluğu simpleklerin boyutları toplamı
kadar olurken, sütun uzunluğu ise bu sayıdan çarpan terim sayısı kadar fazla olmaktadır. Bu
bilgiden hareketle, karakteristik fonksiyonlarla ilişkili matrisleri genel doğrusal grup etkisi
altında daimi bir forma getireceğiz. Elde edilen bu form bir vektör matris verecek ve bu
matrisin vektörlerini ağırlık vektörü kabul eden bir döngüsüz yönlü çizgenin komşuluk
matrisini kuracağız. Simplekslerin otomorfizma grubunun sağ etkisi yönlü çizgeler üzerinde
köşelerin etiketlerinin permütasyonu ya da ağırlık vektörleri ile birlikte yerel tamlama olarak
gözükecektir. Son olarak, birinci tip Stirling sayıları ve bu sayıların katsayılar olarak elde
edildiği artan faktöriyellerin kombinatorik yapılarını kullanarak, üç simpleksin çarpım uzayı
üzerindeki dar örtülerin zayıf denklik sınıflarının sayısını simplekslerin boyutlarına bağlı
temel fonksiyonlar ile vereceğiz.
Small covers over a polytope and their Davis – Januskiewicz equivalence classes are an ongoing problem in topology. It is known that a characteristic function can be established for each small cover. These characteristic functions can be represented by the matrices and the classification problem of small covers can be transferred to operations on matrices. It is difficult to calculate the number of matrices representing characteristic functions under the equivalence relations. For this reason, a general formula is obtained by using a one-to-one correspondence with acyclic digraphs. In this correspondence, the action of the general linear group on the matrices is seen in the form of permutation of the labels of the vertices in acyclic digraphs, local complementation and sliding the edges.
In this work, we will associate the matrices representing characteristic functions with vectorweighted acyclic digraphs to enumerate the weak equivalence classes of small covers over the
product space of simplicies. Here, the number of rows of the matrices is equal to the sum of
the dimensions of the simplicies, while the number of columns is equal to the sum of the sum
of the dimensions and the number of terms in the product. Based on this information, we will
bring the matrices associated with characteristic functions to a permanent form under the
action of the general linear group. This form will give a vector matrix, and we will construct a
corresponding adjacency matrix of an acyclic digraph that accepts the vectors of this matrix as
the weight vector on the edges. The right action of the automorphism group of simplicies will
appear on digraphs as a permutation of the labels of the vertices or as a local complementation
on the weight vectors of the edges. Finally, using the combinatorial structure of the Stirling
numbers of the first kind and rising factorials from which these numbers are obtained as
coefficients, we will give the number of weak equivalence classes of small covers over the
product of three simplicies with basic functions depending on the dimensions of the
simplicies.