Euler polinomlarının matris özellikleri ve fonksiyonel integro-diferansiyel denklemlere uygulamaları
Tez Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Ege Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Türkiye
Tez Danışmanı: Fadime Dal,Nurcan Baykuş Savaşaneril
Tezin Onay Tarihi: 2022
Tezin Dili: Türkçe
Desteklendiği Program: Diğer
Özet:
Diferansiyel, integral ve integro-diferansiyel denklemlerin birçok uygulamalı matematiksel bilimde önemli rol oynadıkları bilinmektedir. Bu bilimlerden bazıları; kuantum mekaniği, elektrodinamik, elektronik sistemler, kontrol problemleri, olasılık, sayılar teorisi, mekanik, astronomi, biyoloji, ekonomi, elektrostatik ve endüstridir. Bu tip denklemlerin analitik çözümlerini elde etmek zor olduğu için sayısal yöntemlere gerek duyulmaktadır.
Bu tez çalışmasında, fonksiyonel integro-diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerini bulmak için, standart sıralama noktaları ile beraber diferansiyel ve integrasyonun işlemsel matrislerine dayalı bir matris yöntemi sunulmuştur. Bu amaç için, Euler polinomlarının matris formları hesaplanıp kullanılarak, fonksiyonel integro-diferansiyel denklem, uygun sayısal yöntemlerle çözülebilen, bilinmeyen Euler katsayılı iki farklı lineer cebirsel denklemler sistemine indirgenmiştir. Böylece problemin yaklaşık çözümünün, “Matris-Sıralama Yöntemi” kullanılarak, Euler polinomları cinsinden elde edilmesi hedeflenmiştir.
Ayrıca sunulan yöntemin tutarlılığı, her bir problem tipine ait sayısal örneklerin yaklaşık çözümlerinin rezidüel (kalan) fonksiyona dayalı hata analizi yapılıp, grafik ve tablolarla gösterilmiştir.
Tezin ilk bölümünde; diferansiyel, integral ve integro-diferansiyel denklemlerin ortaya çıkışları ve literatürde bu denklemlerin çözümleri için ortaya atılan çözüm yöntemleri hakkında kısa bilgi verilmiştir. İkinci ve üçüncü bölümde; Euler polinomlarını tanıtılarak, temel matris bağıntıları kurulmuştur. Dördüncü bölümde; hata analizi için rezidüel fonksiyon tanımlanıp, hatanın yakınsaklığı gösterilmeye çalışılmıştır.
Tezin beşinci bölümünde; lineer (doğrusal) integro-diferansiyel denklem tiplerinden olan; Fredholm, Volterra, Volterra-Fredholm, gecikmeli, değişken gecikmeli ve denklem sistemlerinin çözümleri Euler matris yöntemiyle verilip, çeşitli örneklerle önerilen çözümün verimliliği ve uygulanabilirliği gösterilmiştir. Altıncı bölümde ise; lineer olmayan integro-diferansiyel denklemlerin çözümü, lineer integro-diferansiyel denklemlerdeki sınıflandırmalar yapılarak verilmiş ve örneklerle desteklenmiştir.
Tezin son bölümünde, elde edilen tüm sonuçlar ele alınmış ve yöntemin geçerliliği ve uygulanabilirliği gösterilmiştir.